Question

6．如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，∠AED=90°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=$\frac{1}{2}$AD=2，點G為AC的中點．
（Ⅰ）求證：平面BAE⊥平面DCE；
（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出CD⊥AE，ED⊥AE，從而AE⊥平面DCE，由此能證明平面BAE⊥平面DCE．
（Ⅱ）作EN⊥AD，垂足為N，三棱錐B-AEG的體積為V_B-AEG=V_E-ABG，由此能求出結果．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD為矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，
∴CD⊥平面AFED，∴CD⊥AE，
∵∠AED=90°，∴ED⊥AE，
又∵EO∩CD=D，∴AE⊥平面DCE，
又AE?平面BAE，∴平面BAE⊥平面DCE．…（6分）
解：（Ⅱ）作EN⊥AD，垂足為N，
由平面ABCD⊥平面AFED，平面ABCD∩平面AFED=AD．
得EN⊥平面ABCD，即EN為三棱錐E-ABG的高．
∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，∴△AEF是正三角形，AE=2，
由EF∥AD，知∠EAD=60°，∴$EN=AE•sin60°=\sqrt{3}$，
∴三棱錐B-AEG的體積為：
${V_{B-AEG}}={V_{E-ABG}}=\frac{1}{3}{S_{△ABG}}•EN=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．…••（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．