Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

24

+

y2

12

=1，設R（x₀，y₀）是橢圓C上的任一點，從原點O向圓R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q．
（1）若直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程；
（2）若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k₁，k₂，求證：2k₁k₂+1=0；
（3）試問OP²+OQ²是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,圓的標準方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）通過直線OP，OQ互相垂直，以及點的坐標適合橢圓方程，求出圓的圓心，然后求圓R的方程；
（2）因為直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，與圓R相切，推出k₁，k₂是方程(1+k2)x2-(2x0+2ky0)x+x02+y02-8=的兩個不相等的實數根，利用韋達定理推出k₁k₂．結合點R（x₀，y₀）在橢圓C上，證明2k₁k₂+1=0．
（3）OP²+OQ²是定值，定值為36，理由如下：
法一：（i）當直線ξ不落在坐標軸上時，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯立

y=k1x x2 24 + y2 12 =1

，推出x12+y12=

24(1+k12)

1+2k12

，x22+y22=

24(1+k22)

1+2k22

，由k1k2=-

1

2

，求出OP²+OQ²是定值．
（ii）當直線落在坐標軸上時，顯然有OP²+OQ²=36．
法二：（i）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），通過2k₁k₂+1=0，推出

y

2 1

y

2 2

=

1

4

x

2 1

x

2 2

，利用P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），在橢圓C上，聯立

x 2 1 24 + y 2 1 12 =1 x 2 2 24 + y 2 2 12 =1

，推出OP²+OQ²=36．即可．

解答： 解：（1）由圓R的方程知，圓R的半徑的半徑r=2

2

，
因為直線OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，
所以|OR|=

2

r=4，即x02+y02=16，①…（1分）
又點R在橢圓C上，所以

x02

24

+

y02

12

=1，②…（2分）
聯立①②，解得

x0=±2 2 y0=±2 2 .

…（3分）
所以所求圓R的方程為(x±2

2

)2+(y±2

2

)2=8． …（4分）
（2）因為直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，與圓R相切，
所以

y=k1x (x-x0)2+(y-y0)2=8

，化簡得(1+k12)x2-(2x0+2k1y0)x+x02+y02-8=0…（6分）
同理(1+k22)x2-(2x0+2k2y0)x+x02+y02-8=0，…（7分）
所以k₁，k₂是方程ξ的兩個不相等的實數根，k1•k2=

-b+ b2-4ac

2a

•

-b- b2-4ac

2a

=

c

a

=

y 2 0 -8

x 2 0 -8

…（8分）
因為點R（x₀，y₀）在橢圓C上，所以

x 2 0

24

+

y 2 0

12

=1，即

y

2 0

=12-

1

2

x

2 0

，
所以k1k2=

4- 1 2 x 2 0

x 2 0 -8

=-

1

2

，即2k₁k₂+1=0．   …（10分）
（3）OP²+OQ²是定值，定值為36，…（11分）
理由如下：
法一：（i）當直線ξ不落在坐標軸上時，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯立

y=k1x x2 24 + y2 12 =1

解得

x12= 24 1+2k12 y12= 24k12 1+2k12 .

…（12分）
所以x12+y12=

24(1+k12)

1+2k12

，同理，得x22+y22=

24(1+k22)

1+2k22

，…（13分）
由k1k2=-

1

2

，
所以OP2+OQ2=x12+y12+x22+y22=

24(1+k12)

1+2k12

+

24(1+k22)

1+2k22

=

24(1+k12)

1+2k12

+

24(1+(- 1 2k1 )2)

1+2(- 1 2k1 )2

=

36+72k12

1+2k12

=36…（15分）
（ii）當直線ξ落在坐標軸上時，顯然有ξ，
綜上：OP²+OQ²=36． …（16分）
法二：（i）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因為2k₁k₂+1=0，所以

2y1y2

x1x2

+1=0，即

y

2 1

y

2 2

=

1

4

x

2 1

x

2 2

，…（12分）
因為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），在橢圓C上，所以

x 2 1 24 + y 2 1 12 =1 x 2 2 24 + y 2 2 12 =1

，
即

y 2 1 =12- 1 2 x 2 1 y 2 2 =12- 1 2 x 2 2

，…（13分）
所以(12-

1

2

x

2 1

)(12-

1

2

x

2 2

)=

1

4

x

2 1

x

2 2

，整理得

x

2 1

+

x

2 2

=24，
所以

y

2 1

+

y

2 2

=(12-

1

2

x

2 1

)+(12-

1

2

x

2 2

)=12，
所以OP²+OQ²=36．   …（15分）
（ii）當直線落在坐標軸上時，顯然有OP²+OQ²=36，
綜上：OP²+OQ²=36．     …（16分）

點評：本題考查直線與橢圓的綜合應用，直線與圓相切關系的應用，考查分析問題解決問題的能力．轉化思想的應用．