Question

5．已知函數f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是定義在R上的奇函數，則f（1）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據題意，由函數為奇函數分析可得f（0）=0，即a=0，又由函數f（x）為奇函數，則有f（-x）=-f（x），即$\frac{-x}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$，分析可得b的值，即可得函數f（x）的解析式，將x=1代入函數的解析式即可得答案．

解答 解：根據題意，函數f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是定義在R上的奇函數，
則有f（0）=a=0，即a=0，
則f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$，
又由函數f（x）為奇函數，則有f（-x）=-f（x），
即$\frac{-x}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$，
解可得b=0，
則f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
則f（1）=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$；
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數奇偶性的性質，關鍵是利用奇偶性的性質求出a、b的值．