Question

1．某公司生產A、B兩種產品，且產品的質量用質量指標來衡量，質量指標越大表明產品質量越好．現按質量指標劃分：質量指標大于或等于82為一等品，質量指標小于82為二等品．現隨機抽取這兩種產品各100件進行檢測，檢測結果統計如表：

測試指標	[70，76）	[76，82）	[82，88）	[88，94）	[94，100]
產品A	8	12	40	32	8
產品B	7	18	40	29	6

（Ⅰ）請估計A產品的一等獎；
（Ⅱ）已知每件A產品的利潤y（單位：元）與質量指標值x的關系式為：$y=\left\{\begin{array}{l}-10，x＜76\\ 5，76≤x＜88\\ 60，x≥88\end{array}\right.$，已知每件B產品的利潤y（單位：元）與質量指標值x的關系式為：$y=\left\{\begin{array}{l}-20，x＜76\\ 10，76≤x＜88\\ 80，x≥88.\end{array}\right.$
（i）分別估計生產一件A產品，一件B產品的利潤大于0的概率；
（ii）請問生產A產品，B產品各100件，哪一種產品的平均利潤比較高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用古典概率計算公式可得估計A產品的一等品率．
（Ⅱ）（i）因為“生產每一件A產品，每一件B產品的利潤大于0”等價于“生產每一件A產品，每一件B產品的質量指標大于或等于76”，所以估計生產每一件A產品的利潤大于0的概率為：1-$\frac{8}{100}$．估計生產每一件B產品的利潤大于0的概率為1-$\frac{7}{100}$．
（ii）利用平均數的計算公式可得：生產100件A產品的平均利潤$\overline{{y}_{A}}$，生產100件B產品的平均利潤為：$\overline{{y}_{B}}$．

解答 解：（Ⅰ）估計A產品的一等品率為：$\frac{40+32+8}{100}=0.8$．
（Ⅱ）（i）因為“生產每一件A產品，每一件B產品的利潤大于0”等價于“生產每一件A產品，每一件B產品的質量指標大于或等于76”，
所以估計生產每一件A產品的利潤大于0的概率為：$1-\frac{8}{100}=0.92$，
估計生產每一件B產品的利潤大于0的概率為$1-\frac{7}{100}=0.93$．
（ii）因為生產100件A產品的平均利潤為：$\overline{y_A}=\frac{8×（-10）+5×（12+40）+60×（32+8）}{100}=25.8$（元）；
生產100件B產品的平均利潤為：$\overline{y_B}=\frac{7×（-20）+10×（18+40）+80×（29+6）}{100}=32.4$（元），
因為$\overline{y_A}＜\overline{y_B}$，所以B產品的平均利潤比較高．

點評 本題考查了平均數的計算公式、古典概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．