Question

已知非零向量

a

，

b

滿足|

a

|=3|

b

|，且關于x的函數f（x）=

1

2

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x為R上增函數，則

a

，

b

夾角的取值范圍是（　　）

• A、[0，

  π

  2

  ]
• B、[0，

  π

  3

  ]
• C、（

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]
• D、（

  π

  3

  ，

  2π

  3

  ]

Answer 1

考點：數量積表示兩個向量的夾角,平面向量數量積的運算

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用,平面向量及應用

分析：求導數，利用函數f（x）=

1

2

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x為R上增函數，可得導數大于或者等于0恒成立，利用判別式小于等于0在R上恒成立，再利用向量的數量積，即可得到結論．

解答： 解：因為于x的函數f（x）=

1

2

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x為R上增函數，
所以導數f′（x）=

3

2

x²+|

a

|x+

a

•

b

≥0在R上恒成立，
∴△=|

a

|2-6

a

•

b

≤0在R上恒成立，
設

a

，

b

夾角為θ，
∵|

a

|=3|

b

|≠0，
∴9-18cosθ≤0
∴cosθ≥

1

2

，
∵θ∈[0，π]
∴θ∈[0，

π

3

]
故選B．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查向量的數量積，解題的關鍵是利用判別式小于等于0在R上恒成立．