Question

15．在△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知函數f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函數，且b=f（$\frac{π}{12}$）．
（1）求b．
（2）若a=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求角C．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正弦函數公式化簡函數解析式可得f（x）=$\sqrt{2}sin（3x+B+\frac{π}{4}）$，由題意可得
$B+\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2}$，結合B范圍可求B，求得解析式，即可得解b=f（$\frac{π}{12}$）的值．
（2）由已知及正弦定理得$sinA=\frac{1}{2}$，結合大邊對大角及A的范圍可求A，利用三角形內角和定理即可得解C的值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）=$\sqrt{2}sin（3x+B+\frac{π}{4}）$，
∵f（x）是偶函數，
∴$B+\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2}$…（2分）
∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{4}$…（4分）
∴$f（x）=\sqrt{2}cos3x$，
∴$b=f（\frac{π}{12}）=\sqrt{2}cos\frac{π}{4}=1$．…（6分）
（2）∵$b=1，B=\frac{π}{4}，a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，由正弦定理得：$sinA=\frac{1}{2}$，…（8分）
∵a＜b，
∴$A=\frac{π}{6}$，
∴從而$C=π-\frac{π}{4}-\frac{π}{6}=\frac{7π}{12}$．…（10分）

點評 本題主要考查了兩角和的正弦函數公式，正弦定理，大邊對大角，三角形內角和定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．