Question

15．設等差數列{a_n}的前n項和為S_n．且S₁₀=3S₅+20，a_2n=2a_n．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{2n+1}{{{{（{{a_{n+1}}}）}^2}a_n^2}}$，數列{b_n}的前n項和T_n，證明：對任意n∈N^*，都有$\frac{3}{64}$≤T_n＜$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 （I）設等差數列{a_n}的公差為d，由題意，得$\left\{\begin{array}{l}10{a_1}+45d=3（{5{a_1}+10d}）+20\\{a_1}+（{2n-1}）d=2[{{a_1}+（{n-1}）d}]\end{array}\right.$，解得解得a₁=2，d=2，用等差數列的通項公式即可得出．
（II）b_n=$\frac{2n+1}{4（n+1）^{2}-4{n}^{2}}$=$\frac{1}{16}$[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$]，利用“裂項求和”、“放縮法”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）：設等差數列{a_n}的公差為d，由題意，得$\left\{\begin{array}{l}10{a_1}+45d=3（{5{a_1}+10d}）+20\\{a_1}+（{2n-1}）d=2[{{a_1}+（{n-1}）d}]\end{array}\right.$，
解得a₁=2，d=2，
∴a_n=2n，n∈N*，
（Ⅱ）∵a_n=2n，n∈N*，
∴b_n=$\frac{2n+1}{4（n+1）^{2}-4{n}^{2}}$=$\frac{1}{16}$[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$]，
則${T_n}=\frac{1}{16}[{1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（{n+1}）}^2}}}}]$=$\frac{1}{16}[{1-\frac{1}{{{{（{n+1}）}^2}}}}]$，
∵n∈N^*，
∴$\frac{3}{64}≤{T_n}＜\frac{1}{16}$．

點評 本題考查了“裂項求和”、等差數列的通項公式、遞推式的應用、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．