Question

18．已知定義域為{x|x≠0}的偶函數f（x），其導函數為f′（x），對任意正實數x滿足xf′（x）＞-2f（x），若g（x）=x²f（x），則不等式g（x）＜g（1）的解集是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，0）∪（0，1）
• C． （-1，1）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 f（x）是定義域為{x|x≠0}的偶函數，可得：f（-x）=f（x），對任意正實數x滿足xf′（x）＞2f（-x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x²f（x），可得g′（x）＞0．可得函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增．即可得出．

解答 解：∵f（x）是定義域為{x|x≠0}的偶函數，
∴f（-x）=f（x）．
對任意正實數x滿足xf′（x）＞-2f（x），
∴xf′（x）+2f（x）＞0，
∵g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）＞0．
∴函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴g（x）在（-∞，0）遞減；
若不等式g（x）＜g（1），
則|x|＜1，x≠0，
解得：0＜x＜1或-1＜x＜0，
故選：D．

點評 本題考查了函數的奇偶性與單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．