Question

14．已知△ABC中，sinA+2sinBcosC=0，則tanA的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 sinA+2sinBcosC=0，利用三角形內角和定理與誘導公式可得：sin（B+C）+2sinBcosC=0，展開化為：3sinBcosC+cosBsinC=0，cosC≠0，cosB≠0．因此3tanB=-tanC．即可判斷：B為銳角，C為鈍角；
tanA=-tan（B+C）展開代入利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：三角形ABC中，A+B+C=180°
sinA=sin（B+C）
代入sinA+sinBcosC=0
得：sin（B+C）+2sinBcosC=0
∴：3sinBcosC+cosBsinC=0
∴：3sinBcosC=-cosBsinC
∴：3tanB=-tanC
sinA+2sinBcosC=0，sinA=-2sinBcosC＞0
∴：sinBcosC＜0
∵：sinB＞0
∴：cosC＜0
∴：C是鈍角，A和B是銳角，tanB＞0
tanA=-tan（B+C）
=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=-$\frac{tanB-3tanB}{1+3ta{n}^{2}B}$=$\frac{2tanB}{1+3ta{n}^{2}B}=\frac{1}{\frac{1}{2tanB}+\frac{3tanB}{2}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
當且僅當tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時取等號．
∴tanA的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查了三角形內角和定理、誘導公式、和差公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題