Question

19．已知定義在R上的函數f（x）滿足：①圖象關于（1，0）點對稱；②f（-1+x）=f（-1-x）；③當x∈[-1，1]時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x∈[-1，0]}\\{cos\frac{π}{2}x，x∈（0，1]}\end{array}\right.$，則函數y=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^|x|在區間[-3，3]上的零點個數為（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由①可得f（x）+f（2-x）=0，求得x在[1，3]上的f（x）的解析式；再由②求得x在[-3，-1]上的解析式，畫出f（x）和y═（ $\frac{1}{2}$）^|x|在[-3，3]的圖象，通過圖象觀察，可得它們有5個交點，即可得到零點的個數．

解答 解：由題意圖象關于（1，0）點對稱；可得f（x）+f（2-x）=0，
當1≤x≤2時，0≤2-x≤1，f（2-x）=cos$\frac{π}{2}$（2-x）=-cos$\frac{π}{2}$x，
則f（x）=-f（2-x）=cos$\frac{π}{2}$x；
當2＜x≤3時，-1≤x＜0，f（2-x）=1-（2-x）²，
則f（x）=-f（2-x）=（2-x）²-1．
由②f（-1+x）=f（-1-x），即為f（x）=f（-x-2），
當-3≤x≤-2時，0≤-2-x≤1，f（-2-x）=cos$\frac{π}{2}$（-2-x）=-cos$\frac{π}{2}$x，
則f（x）=-f（-2-x）=-cos$\frac{π}{2}$x；
當-2＜x≤-1時，-1≤-2-x＜0，f（-2-x）=1-（-2-x）²，
則f（x）=f（-2-x）=1-（-2-x）²．
y=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^|x|在區間[-3，3]上的零點
即為y=f（x）和y=（$\frac{1}{2}$）^|x|在[-3，3]的交點個數．
作出y=f（x）和y═（$\frac{1}{2}$）^|x|在[-3，3]的圖象，
通過圖象觀察，可得它們有5個交點，
即有5個零點．
故選：A．

點評 本題考查函數的性質和運用，考查函數方程的轉化思想，注意運用數形結合的思想方法，屬于中檔題．