Question

9．國內某大學有男生6000人，女生4000人，該校想了解本校學生的運動狀況，根據性別采取分層抽樣的方法從全校學生中抽取100人，調查他們平均每天運動的時間（單位：小時），統計表明該校學生平均每天運動的時間范圍是[0，3]，若規定平均每天運動的時間不少于2小時的學生為“運動達人”，低于2小時的學生為“非運動達人”．根據調查的數據按性別與“是否為‘運動達人’”進行統計，得到如表2×2列聯表：

運動時間 性別	運動達人	非運動達人	合計
男生	36
女生		26
合計			100

（1）請根據題目信息，將2×2列聯表中的數據補充完整，并通過計算判斷能否在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認為性別與“是否為‘運動達人’”有關；
（2）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調查該校的3名男生，設調查的3人中運動達人的人數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望E（X）及方差D（X）．附表及公式：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）計算觀測值K²，根據臨界值表即可作出結論；
（2）分別計算X=0，1，2，3時的概率，寫出分布列，根據分布列得出數學期望和方差．

解答 解：（1）由題意，該校根據性別采取分層抽樣的方法抽取的100人中，有60人為男生，40人為女生，據此2×2列聯表中的數據補充如下．

運動時間 性別	運動達人	非運動達人	合計
男生	36	24	60
女生	14	26	40
合計	50	50	100

由表中數據得K²的觀測值k=$\frac{100×（36×26-24×14）^{2}}{50×50×60×40}$=6＞5.024，
∴在犯錯誤概率不超過0.025的前提下，可以認為性別與“是否為‘運動達人’”有關；
（2）由題意可知，該校每個男生是運動達人的概率為$\frac{36}{60}$=$\frac{3}{5}$，故X～B（3，$\frac{3}{5}$），
X可取的值為0，1，2，3，
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{2}{5}）^{3}（\frac{3}{5}）^{0}=\frac{8}{125}$，P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）=\frac{36}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}=\frac{54}{125}$，P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{0}（\frac{3}{5}）^{3}=\frac{27}{125}$．
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∴E（X）=3×$\frac{3}{5}=\frac{9}{5}$，D（X）=3×$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{18}{25}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗的應用問題，也考查了離散型隨機變量的分布列、數學期望、方差的求法問題，是綜合性題目，屬中檔題．