Question

11．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，過左焦點F₁（-c，0）作圓x²+y²=a²的切線，切點為E，延長F₁E交拋物線y²=4cx于P，Q兩點，則|PE|+|QE|的值為（　　）

• A． $10\sqrt{2}a$
• B． 10a
• C． $（5+\sqrt{5}）a$
• D． $12\sqrt{2}a$

Answer 1

分析 求出E，P，Q的坐標，利用距離公式，即可得出結論．

解答 解：設直線的傾斜角為α，則由題意$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
切線方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+c），代入y²=4cx，
可得x²-6cx+c²=0，∴x=（3±2$\sqrt{2}$）c，
∴P（（3+2$\sqrt{2}$）c，（2$\sqrt{2}$+2）c），
Q（（3-2$\sqrt{2}$）c，（2$\sqrt{2}$-2）c），
直線OE與PE的方程分別為y=-$\sqrt{2}$x與y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+c），
聯立可得E（-$\frac{1}{3}$c，$\frac{\sqrt{2}}{3}$c），
∴|PE|+|QE|=$\sqrt{（\frac{10}{3}+2\sqrt{2}）^{2}+（\frac{5\sqrt{2}}{3}+2）^{2}}$c+$\sqrt{（\frac{10}{3}-2\sqrt{2}）^{2}+（\frac{5\sqrt{2}}{3}-2）^{2}}$c=（$\frac{5\sqrt{2}}{3}$+2）c+（$\frac{5\sqrt{2}}{3}$-2）c=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$c=10$\sqrt{2}$a，
故選A．

點評 本題考查直線與圓、拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．