Question

1．已知函數f（x）=a-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$（a∈R）
（1）判斷函數f（x）的單調性并給出證明；
（2）若函數f（x）是奇函數，則f（x）≥$\frac{m}{{3}^{x}}$當x∈[1，2]時恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）不論a為何實數，f（x）在定義域R上單調遞增．下面給出證明分析：設x₁＜x₂，利用指數函數的單調性只要證明f（x₁）-f（x₂）＜0即可．
（2）由函數f（x）是R上的奇函數，可得f（0）=0，解得a=1．由f（x）≥$\frac{m}{{3}^{x}}$當x∈[1，2]時恒成立，可得3^x-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$×3^x≥m，即m≤3^x+1+$\frac{2}{{3}^{x}+1}$-2的最小值，設3^x+1=t∈[4，10]．則g（t）=t+$\frac{2}{t}$-2，利用導數研究函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）不論a為何實數，f（x）在定義域R上單調遞增．
下面給出證明：設x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=$（a-\frac{2}{{3}^{{x}_{1}}+1}）$-$（a-\frac{2}{{3}^{{x}_{2}}+1}）$=$\frac{2（{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴0＜${3}^{{x}_{1}}$＜${3}^{{x}_{2}}$，
∴$\frac{2（{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在定義域R上單調遞增．
（2）∵函數f（x）是R上的奇函數，∴f（0）=0，可得f（0）=a-$\frac{2}{{3}^{0}+1}$=0，解得a=1．
∵f（x）≥$\frac{m}{{3}^{x}}$當x∈[1，2]時恒成立，∴3^x-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$×3^x≥m，即m≤3^x+1+$\frac{2}{{3}^{x}+1}$-2的最小值，
設3^x+1=t∈[4，10]．則g（t）=t+$\frac{2}{t}$-2，g′（t）=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，
∴函數g（t）在t∈[4，10]上單調遞增，
∴g（t）_min=g（4）=$\frac{5}{2}$，
∴m≤$\frac{5}{2}$，此時x=1．即m的最大值是$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了函數的奇偶性與單調性、利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．