Question

2．已知函數f（x）=$\sqrt{m{x^2}+mx+2}$的定義域是R，則實數m的取值范圍是[0，8]．

Answer 1

分析 由題意知mx²+mx+2＞0在R上恒成立，因二次項的系數是參數，所以分m=0和m≠0兩種情況，再利用二次函數的性質即開口方向和判別式的符號，列出式子求解，最后把這兩種結果并在一起．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{m{x^2}+mx+2}$的定義域為R，
∴mx²+mx+2≥0在R上恒成立，
①當m=0時，有2＞0在R上恒成立，故符合條件；
②當m≠0時，由$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{m}^{2}-8m≤0}\end{array}\right.$，解得0＜m≤8，
綜上，實數m的取值范圍是[0，8]．
故答案為：[0，8]．

點評 本題的考點是對數函數的定義域，考查了含有參數的不等式恒成立問題，由于含有參數需要進行分類討論，易漏二次項系數為零這種情況，當二次項系數不為零時利用二次函數的性質列出等價條件求解．