Question

10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足bcosA=（2c-a）cosB．
（1）求角B的大��；
（2）若b=4$，\;\;\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理把已知等式化邊為角，利用兩角和的正弦化簡即可求得角B的大��；
（2）由數量積為4可得ac的值，再由余弦定理整體運算求得a+c的值．

解答 解：（1）∵bcosA=（2c-a）cosB，
由正弦定理得sinBcosA=2sinCcosB-sinAcosB，
即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，
∵sinC≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$．
又B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）∵$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=4$，∴ca•cosB=4，得ac=8．
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=（a+c）²-24=16．
∴$a+c=2\sqrt{10}$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用，是中檔題．