Question

已知向量

a

=（tanx+2，1）；

b

=（1，tanx+2）；當x∈[-

π

3

，

π

4

]時，求向量

a

與

b

夾角θ的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：運用向量的夾角公式，平面向量的數量積的坐標表示和模的公式，化簡整理，再由正切函數的單調性，求得tanx+2的范圍，再由對勾函數及余弦函數的單調性，即可得到所求范圍．

解答： 解：由于向量

a

=（tanx+2，1）；

b

=（1，tanx+2），
則cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

2tanx+4

1+(tanx+2)2 • 1+(tanx+2)2

=

2(tanx+2)

1+(tanx+2)2

=

2

(tanx+2)+ 1 tanx+2

，
由于x∈[-

π

3

，

π

4

]，則tanx∈[-

3

，1]，即有tanx+2∈[2-

3

，3]．
令t=tanx+2，則t+

1

t

在[2-

3

，1]遞減，在[1，3]上遞增，
則t=1時，t+

1

t

取得最小且為2，t=2-

3

時，t+

1

t

取得最大且為4．
則

1

2

≤cosθ≤1，由于0≤θ≤π，解得0≤θ≤

π

3

．
則有向量

a

與

b

夾角θ的取值范圍為：[0，

π

3

]．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標表示和夾角公式及范圍，考查正切及余弦函數的單調性和運用，考查對勾函數的單調性及運用：求值域，考查運算能力，屬于中檔題．