Question

設(shè)函數(shù)

（1）若，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若函數(shù)在存在單調(diào)遞增區(qū)間，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求函數(shù)的極值點(diǎn).

 

Answer 1

（1）最小值為.（2）.

（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719301825597427/SYS201411171930376629575703_DA/SYS201411171930376629575703_DA.009.png">，根據(jù)，得在上增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值.

（2）由于,設(shè).

依題意,在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立.

根據(jù)或，解得實(shí)數(shù)取值范圍是.

（3）由，令.分，討論的符號(hào)及駐點(diǎn)情況.

1)當(dāng)時(shí)，在上恒成立，，此時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).

2)當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，這時(shí)，此時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).

②當(dāng)即時(shí)，

當(dāng)時(shí)，易知，這時(shí)；

當(dāng)或時(shí)，易知，這時(shí).

時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).

解答本題的主要難度在于轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的利用.

試題解析：（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719301825597427/SYS201411171930376629575703_DA/SYS201411171930376629575703_DA.009.png">，，在上增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，在上的最小值為. 4分

（2）,設(shè).

依題意,在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立.

注意到拋物線開(kāi)口向上,所以只要或即可.

由得,解得，

由得,得，

，即實(shí)數(shù)取值范圍是. 8分

（3），令。

1)顯然，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，這時(shí)，此時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).

2)當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，這時(shí)，此時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).

②當(dāng)即時(shí)，

當(dāng)時(shí)，易知，這時(shí)；

當(dāng)或時(shí)，易知，這時(shí).

時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn). 13分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想.