Question

已知函數g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在區間[0，1]上有最大值1和最小值-2，設f（x）=

g(x)

x

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并證明你的結論；
（Ⅲ）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-2，2]上有解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據函數g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在區間[0，1]上為減函數，且有最大值1和最小值-2，故可建立方程組，從而可求a、b的值；
（Ⅱ）利用導數判斷并證明f（x）在區間（1，+∞）上的單調遞增．
（Ⅲ）不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化為：2^x+

1

2x

-4-k•2^x≥0，即k≤1+(

1

2x

)2-4•(

1

2x

) ，利用換元法，結合二次函數的圖象和性質，求出1+(

1

2x

)2-4•(

1

2x

) 的最小值，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）的圖象是開口朝上，且以直線x=2為對稱軸的拋物線，
故函數g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在區間[0，1]上為減函數，
∵函數g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在區間[0，1]上有最大值1和最小值-2，
∴

g(0)=1 g(1)=-2

解得a=1，b=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：g（x）=x²-4x+1，f（x）=

g(x)

x

=x+

1

x

-4，
∴f′（x）=1-

1

x2

，
∵x∈（1，+∞），
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在區間（1，+∞）上的單調遞增．
（Ⅲ）不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化為：2^x+

1

2x

-4-k•2^x≥0，
即k≤1+(

1

2x

)2-4•(

1

2x

) ，
令t=

1

2x

，
∵x∈[-2，2]，
∴t∈[

1

4

，4]，
令h（t）=t²-4t+1，t∈[

1

4

，4]，
∴h（t）∈[-3，1]，
∴k≤1．
故所以k的取值范圍是k≤1

點評：本題考查了恒成立問題，考查了二次函數的性質，訓練了利用二次函數的單調性求最值，考查了數學轉化思想方法，解答此題的關鍵在于把不等式在閉區間上有解轉化為分離變量后的參數k小于等于函數在閉區間上的最大值，是學生難以想到的地方，是難題．