Question

設集合M={x|x=（a₁，a₂，a₃，a₄，a₅），a_i=0，1，i=1，2，3，4，5}．若a，b∈M，定義其“距離”d（a，b）=

5

i=1

|a_i-b_i|；給出以下命題：
（1）M中所有元素的個數為5！；
（2）若

5

i=1

a_i²=0，b₁b₂b₃b₄b₅=1，則d（a，b）=5；
（3）若a，b，c∈M，則d（a，b）+d（b，c）≥d（c，a）；
（4）設W⊆M且W中任意兩個元素之間的距離大于2，則|W|的最大值為4（|W|表示集合W的元素的個數）
以下命題中正確命題的序號是

 

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：計算題,新定義,集合

分析：運用排列組合的知識，由于a_i=0，1，均有兩種可能，則由分步相乘原理，即可判斷（1）；
分別求出a₁=a₂=…=a₅=0，b₁=b₂=…=b₅=1，再由距離定義，即可得到（2）；
由距離的定義，結合絕對值不等式的性質，即可判斷（3）；
通過討論舉例，再由距離定義，結合分析，即可判斷（4）．

解答： 解：對于（1），由于a_i=0，1，則M中所有元素的個數為2⁵=32，則（1）錯；
對于（2），若

5

i=1

a_i²=0，b₁b₂b₃b₄b₅=1，則為a₁=a₂=…=a₅=0，b₁=b₂=…=b₅=1，
則d（a，b）=5，則（2）對；
對于（3），若a，b，c∈M，則d（a，b）+d（b，c）=

5

i=1

|a_i-b_i|+

5

i=1

|b_i-c_i|
≥

5

i=1

|（a_i-b_i）+（b_i-c_i）|=

5

i=1

|a_i-c_i|=d（c，a），則（3）對；
對于（4），設W⊆M且W中任意兩個元素之間的距離大于2，則為3，4，5，
若為兩個元素，比如：W={（0，0，0，0，0），（1，1，1，0，0）}，成立，
若為三個元素，比如W={（0，0，0，0，0），（1，1，1，0，0），（1，0，0，1，1）}成立，
若為四個元素，比如W={（0，0，0，0，0），（1，1，1，0，0），（1，0，0，1，1），（0，1，1，1，1）}，成立，
若為五個元素，由于最大距離為5，若出現距離為5，則必有元素（1，1，1，1，1），不成立，若出現距離4，
則必有4個1和1個0的元素，必出現距離為1或2的情況，若出現距離3，必出現距離為1或2的情況，
故不成立．則|W|的最大值為4，則（4）對．
故答案為：（2）（3）（4）．

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查集合的子集個數和絕對值不等式的性質，考查分析推理能力，屬于中檔題和易錯題．