Question

已知函數f（x）=

x-a

ex

，且f（x）在x=2處取得極值．
（1）求f（x）在x=2處的切線方程； 
 （2）求f（x）在[0，3]上的最大值及最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）由題意求導f′（x）=

1+a-x

ex

，令f′（2）=0可解出a，再求f（x）在x=2處的切線方程；
（2）由（1）易知f（x）在[0，2]上單調遞增，在[2，3]上單調遞減，從而求f（x）在[0，3]上的最大值及最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=

1+a-x

ex

，
由題意可得，f′（2）=0，
從而解得，a=1，
故f（x）=

x-1

ex

，
則f（2）=

1

e2

，
故f（x）在x=2處的切線方程為y=

1

e2

；
（2）由（1）知，f（x）=

x-1

ex

，f′（x）=

2-x

ex

，
故f（x）在[0，2]上單調遞增，在[2，3]上單調遞減，
又∵f（0）=-1，f（2）=

1

e2

，f（3）=

2

e3

，
故f（x）在[0，3]上的最大值為

1

e2

，
最小值為-1．

點評：本題考查了導數的綜合應用，屬于中檔題．