Question

已知函數f（x）在R上可導，其導函數為f′（x），若f′（x）滿足

f′(x)-f(x)

x-1

＞0，y=

f(x)

ex

關于直線x=1對稱，則不等式

f(x2-x)

ex2-x

＜f（0）的解集是（　　）

• A、（-1，2）
• B、（1，2）
• C、（-1，0）∪（1，2）
• D、（-∞，0）∪（1，+∞）

Answer 1

考點：導數的運算,其他不等式的解法

專題：導數的綜合應用

分析：令g（x）═

f(x)

ex

，求出導函數，當x＞1時，f′（x）-f（x）＞0則g′（x）＞0，判定出g（x）在（1，+∞）上單增；據y=

f(x)

ex

關于直線x=1對稱，將不等式中的抽象函數符號去掉，解出x即可．

解答： 解：令g（x）═

f(x)

ex

，
∴g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

，
∵

f′(x)-f(x)

x-1

＞0，
當x＞1時，f′（x）-f（x）＞0則g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上單增；
當x＜1時，f′（x）-f（x）＜0則g′（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，1）上單減；
∵g（0）=f（0），
∴不等式

f(x2-x)

ex2-x

＜f（0）即為不等式g（x²-x）＜g（0），
∵y=

f(x)

ex

關于直線x=1對稱，
∴|x²-x|＜0
∴|x²-x-1|＜1
解得-1＜x＜0或1＜x＜2
故選C．

點評：本題考查利用導數的符號判定函數的單調性；考查利用函數的單調性解抽象不等式，屬于難題．