Question

已知函數(shù)f（x）=4^x-2^x+2+3，其中實(shí)數(shù)x滿足lgx+lg（x+3）≤1，
（1）求x的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接求解對(duì)數(shù)不等式得到x的范圍；
（2）令t=2^x換元，然后利用配方法求得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）由lgx+lg（x+3）=lgx（x+3）≤1，得

x＞0 x+3＞0 x(x+3)≤10

，解得0＜x≤2．
∴x的取值范圍是（0，2]；
（2）令t=2^x，t∈（1，2]，
則f（x）=4^x-2^x+2+3化為y=t²-4t+3=（t-2）²-1∈[-1，3]．
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式的解法，訓(xùn)練了換元法求函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題．