Question

4．對定義在[1，+∞）上的函數f（x）和常數a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數f（x）的一個“凱森數對”．
（1）若（1，1）是f（x）的一個“凱森數對”，且f（1）=3，求f（16）；
（2）已知函數f₁（x）=log₃x與f₂（x）=2^x的定義域都為[1，+∞），問它們是否存在“凱森數對”？分別給出判斷并說明理由；
（3）若（2，0）是f（x）的一個“凱森數對”，且當1＜x≤2時，f（x）=$\sqrt{2x-{x^2}}$，求f（x）在區間（1，+∞）上的不動點個數．

Answer 1

分析 （1）（1，1）是f（x）的一個“凱森數對，構造f（2n）=f（2n-1）+1，即可求出f（16），
（2）分別根據新定義，判斷即可，
（3）當2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹，則1＜$\frac{x}{{2}^{n}}$≤2，根據題意可得當2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹時，函數y=f（x）-x在區間（1，+∞）無零點，問題得以解決．

解答 解：（1）由題意，f（2x）=f（x）+1，且f（1）=3，則f（2n）=f（2n-1）+1，
則數列{f（2n）}成等差數列，公差為d=1，首項f（1）=3，
于是f（16）=7；
（2）對于函數f₁（x）=log₃x，定義域為[1，+∞），
∴log₃2x=alog₃x+b，
∴log₃2+log₃x=alog₃x+b，
∴a=1，b=log₃2，
∴（1，log₃2）為函數f₁（x）的一個“凱森數對，
對于函數f₂（x）=2^x，定義域為[1，+∞），
∴2^2x=a2^x+b，
∴a=2^x，b=0，
∴不存在“凱森數對“
（3）當2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹，則1＜$\frac{x}{{2}^{n}}$≤2，
則由題意得f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2²f（$\frac{x}{{2}^{2}}$）=…=2ⁿf（$\frac{x}{{2}^{n}}$）=2ⁿ，
∴$\sqrt{\frac{2x}{{2}^{n}}-（\frac{x}{{2}^{n}}）^{2}}$=$\sqrt{{2}^{n+1}•x-{x}^{2}}$，
由f（x）-x=0，得$\sqrt{{2}^{n+1}•x-{x}^{2}}$=x，
解得x=0，或x²=2ⁿ均不符合條件，
即當2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹時，函數y=f（x）-x在區間（1，+∞）無零點，
由于（1，+∞）=（1，2]∪（2，2²]∪…∪（2ⁿ，2ⁿ⁺¹]…，
∴f（x）在區間（1，+∞）上無零點，
f（x）在區間（1，+∞）上的不動點個數為0個．

點評 本題考查利用新定義分析問題、解決問題的能力．考查轉化計算，分類討論、構造能力及推理論證能力，思維量大，屬于難題．