Question

12．已知函數$f（x）=cos（ωx+\frac{π}{3}）（ω＞0）$，圖象上任意兩條相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數f（x）的單調區間，對稱中心；
（2）若關于x的方程2cos²x+mcosx+2=0在$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$上有實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數的周期性以及圖象的對稱性求得ω的值，可得函數的解析式，再利用正弦函數的單調性、圖象的對稱性求得函數f（x）的單調區間，對稱中心．
（2）令t=cosx，t∈（0，1），根據m=-2（t+$\frac{1}{t}$ ），以及函數m在（0，1）上單調遞減，求得m的范圍．

解答 解：（1）∵函數$f（x）=cos（ωx+\frac{π}{3}）（ω＞0）$，圖象上任意兩條相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，$ω=2，f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）$．
令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ-$\frac{π}{6}$，可得函數的單調遞增區間$[{kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}}]k∈Z$；
同理，令2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函數的調遞減區間$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]k∈Z$．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，可得函數的對稱中心為 $（{\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，0}）k∈Z$．
（2）令t=cosx，t∈（0，1）則2t²+mt+2=0在（0，1）上有解，m=-2（t+$\frac{1}{t}$ ），
令$k（t）=（t+\frac{1}{t}）$，任取0＜t₁＜t₂＜1，有$k（{t_1}）-k（{t_2}）=（{t_1}-{t_2}）（1-\frac{1}{{{t_1}{t_2}}}）＞0$，
因此$k（t）=（t+\frac{1}{t}）$在（0，1）上單調遞減，因此m＜-2k（1）=-4，
所以m范圍{m|m＜-4}．

點評 本題主要考查正弦函數的單調性、周期性以及圖象的對稱性，函數的單調性的定義，求函數的值域，屬于中檔題．