Question

16．已知曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$=0．
（1）求曲線C₁的極坐標方程以及曲線C₂的直角坐標方程；
（2）求曲線C₁上的點到曲線C₂的距離的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的互化方法求曲線C₁的極坐標方程以及曲線C₂的直角坐標方程；
（2）求出圓C₁的圓心到直線C₂的距離d₀=$\frac{|1+1+2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，即可求曲線C₁上的點到曲線C₂的距離的取值范圍．

解答 解：（1）曲線C₁化為普通方程為（x-1）²+（y-1）²=2
展開后得x²-2x+y²-2y=0
再由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得極坐標方程為ρ=2sinθ+2cosθ…（2分）
曲線C₂展開得$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ+$\sqrt{2}$=0，
又x=x=ρcosθ，y=ρsinθ，得直角坐標方程為x+y+2=0…（5分）
（2）由（1）知曲線C₁的直角坐標方程為（x-1）²+（y-1）²=2，是以（1，1）為圓心，1為半徑的圓，曲線C₂是一條直線
圓C₁的圓心到直線C₂的距離d₀=$\frac{|1+1+2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$…（8分）
故曲線C₁上的點到C₁的距離d的取值范圍是[$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$]…（10分）

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．