Question

7．襄陽農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫度與實驗室每天每100顆種子中的發芽數，得到如下數據：

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
溫差x（℃）	10	11	13	12	8
發芽數y（顆）	23	26	32	26	16

襄陽農科所確定的研究方案是：先從這5組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗．
（1）求選取的2組數據恰好是不相鄰的2天數據的概率；
（2）若選取的是12月1日與12月5日這兩組數據，情根據12月2日至12月4日的數據，求y關于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過1顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？
注：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n•{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）•（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$•$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據題意列舉出從5組數據中選取2組數據共有10種情況，每種情況都是可能出現的，滿足條件的事件包括的基本事件有6種．根據等可能事件的概率做出結果．
（2）根據所給的數據，先做出x，y的平均數，即做出本組數據的樣本中心點，根據最小二乘法求出線性回歸方程的系數，寫出線性回歸方程．
（3）根據估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過1顆，就認為得到的線性回歸方程是可靠的，根據求得的結果和所給的數據進行比較，得到所求的方程是可靠的．

解答 解：（1）恰好是不相鄰的2天數據的概率P=$1-\frac{4}{C_5^2}=\frac{3}{5}$．
（2）由數據得：$\sum_{i=1}^3{{x_i}{y_i}=11×26+13×32+12×26=1014}$；$\overline x=\frac{1}{3}（11+13+12）=12$，$\overline y=\frac{1}{3}（26+32+26）=28$，$3\overline x•\overline y=3×12×28=1008$；
∴$\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y=}$$\sum_{i=1}^3{{x_i}{y_i}-3\overline x•\overline y=1014-1008=28}$，$\sum_{i=1}^3{x_i^2={{11}^2}+{{13}^2}+{{12}^2}=434}$，$3{\overline x^2}=3×{12^2}=432$；∴$\sum_{i=1}^n{x_i^2-n•{{\overline x}^2}=\sum_{i=1}^3{x_i^2-3•{{\overline x}^2}=}}$434-432=2，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n•{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^3{{x_i}{y_i}-3•\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^3{x_i^2-3•{{\overline x}^2}}}}=\frac{6}{2}=3$；$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=28-3×12=-8$．
故y關于x的線性回歸方程y=3x-8．
（3）當x=10時，$\hat y=3x-8=3×10-8=22$，|22-23|≤1；
當x=8時，$\hat y=3x-8=3×8-8=16$，|16-16|≤1，故得到的線性回歸方程是可靠的．

點評 本題考查線性回歸方程的應用，在解題過程中注意對于預報值的估計，屬于基礎題．