Question

18．關于x的方程g（x）=t（t∈R）的實根個數記為f（t）．若g（x）=lnx，則f（t）=1；若g（x）=$\left\{\begin{array}{l}x，x≤0\\-{x^2}+2ax+a，x＞0\end{array}$（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，則a的取值范圍是a＞1．

Answer 1

分析 若g（x）=lnx，則函數的值域為R，且函數為單調函數，故方程g（x）=t有且只有一個根，故f（t）=1，
若g（x）=$\left\{\begin{array}{l}x，x≤0\\-{x^2}+2ax+a，x＞0\end{array}$（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，則x＞0時，函數的最大值大于2，且對稱軸位于y軸右側，解得答案．

解答 解：若g（x）=lnx，則函數的值域為R，且函數為單調函數，
故方程g（x）=t有且只有一個根，
故f（t）=1，
g（x）=$\left\{\begin{array}{l}x，x≤0\\-{x^2}+2ax+a，x＞0\end{array}$，
當t≤0時，f（t）=1恒成立，
若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，
則x＞0時，函數的最大值大于2，且對稱軸位于y軸右側，
即$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \frac{-4a-4{a}^{2}}{-4}＞2\end{array}\right.$，
解得：a＞1，
故答案為：1，a＞1

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，函數的零點及個數判斷，難度中檔．