Question

1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a²+b²+4$\sqrt{2}$=c²，ab=4，則$\frac{sinC}{ta{n}^{2}A•sin2B}$的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2．

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求cosC，結合范圍C∈（0，π），可求C的值，可得B=$\frac{π}{4}$-A，利用三角函數恒等變換的應用，基本不等式可求tan²Acos2A=3-（2cos²A+$\frac{1}{co{s}^{2}A}$）≤3-2$\sqrt{2}$，即可得解．

解答 解：∵a²+b²+4$\sqrt{2}$=c²，ab=4，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{-4\sqrt{2}}{2×4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{3π}{4}$，B=$\frac{π}{4}$-A，
∵tan²Acos2A=3-（2cos²A+$\frac{1}{co{s}^{2}A}$）≤3-2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{sinC}{ta{n}^{2}A•sin2B}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{ta{n}^{2}A•cos2A}$≥$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{3-2\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2，則$\frac{sinC}{ta{n}^{2}A•sin2B}$的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2，當且僅當2cos²A=$\frac{1}{co{s}^{2}A}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2．

點評 本題主要考查了余弦定理，三角函數恒等變換的應用，基本不等式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．