Question

關于函數(shù)f（x）=

b

|x|-a

（a＞0，b＞0）有下列命題：
①函數(shù)f（x）的值域為（-∞，0）∪（0，+∞）；
②直線x=k（k∈R）與函數(shù)f（x）圖象有唯一交點；
③函數(shù)y=f（x）+1有兩個零點；
④函數(shù)定義域為D，則任意x∈D，f（-x）=f（x）；
⑤當a=b=1時，以點（0，1）為圓心病情與函數(shù)相切的圓的最小面積為3π．
其中所有敘述正確的命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)于函數(shù)f（x）=

b

|x|-a

（a＞0，b＞0），逐一分析函數(shù)的定義域，值域，零點個數(shù)，奇偶性等性質，進而得到5個結論的真假，可得答案．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

b

|x|-a

（a＞0，b＞0）的定義域為{x|x≠±a}，值域為：（-∞，-

b

a

]∪（0，+∞），故①錯誤；
當k=±a時，直線x=k（k∈R）的函數(shù)f（x）圖象無交點，故②錯誤；
令f（x）+1=0，則|x|=a-b，若a≤b，則方程無兩解，即函數(shù)y=f（x）+1有無兩個零點，故③錯誤；
函數(shù)定義域為D，則任意x∈D，f（-x）=

b

|-x|-a

=

b

|x|-a

=f（x），故④正確；
當a=b=1時，f（x）=

1

|x|-1

，則點（0，1）為圓心的圓與函數(shù)圖象相切時，
若切點橫坐標在（-1，1）之間，則半徑為2，
若切點橫坐標在（-∞，-1）∪（1，+∞），設其中一個切點坐標為（x，

1

x-1

），（x＞1）
則R²=x2+(

1

x-1

-1)2=[

1

x-1

-(x-1)+1]2+3≥3，
故半徑最小值為

3

，則圓的最小面積為3π，故⑤正確；
故所有敘述正確的命題的序號是④⑤，
故答案為：④⑤

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的定義域，值域，零點個數(shù)，奇偶性等性質，是函數(shù)圖象和性質的綜合應用，難度中檔．