Question

20．已知函數f（x）=xln（x-1）-a，下列說法正確的是（　　）

• A． 當a=0時，f（x）沒有零點
• B． 當a＜0時，f（x）有零點x₀，且x₀∈（2，+∞）
• C． 當a＞0時，f（x）有零點x₀，且x₀∈（1，2）
• D． 當a＞0時，f（x）有零點x₀，且x₀∈（2，+∞）

Answer 1

分析 設g（x）=xln（x-1），確定函數在（1，+∞）上單調遞增，g（2）=0，即可得出結論．

解答 解：設g（x）=xln（x-1），則g′（x）=ln（x-1）+$\frac{x}{x-1}$，g″（x）=$\frac{x-2}{（x-1）^{2}}$，
∴1＜x＜2，g″（x）＜0，x＞2，g″（x）＞0，
∴g′（x）≥g′（2）=2＞0，
∴f（x）函數在（1，+∞）上單調遞增，
∵g（2）=0，
∴當a＞0時，f（x）有零點x₀，且x₀∈（2，+∞），
故選：D．

點評 本題考查函數的零點，考查導數知識的運用，屬于中檔題