Question

15．已知函數$f（x）={a^{3{x^2}-3}}$，$g（x）={（{\frac{1}{a}}）^{5x+5}}$，其中a＞0，且a≠1．
（1）若0＜a＜1，求滿足不等式f（x）＜1的x的取值的集合；
（2）求關于x的不等式f（x）≥g（x）的解的集合．

Answer 1

分析 （1）根據a的范圍，得到關于x的不等式，解出即可；（2）通過討論a的范圍，得到關于x的不等式，解出即可．

解答 解（1）由不等式f（x）＜1，
得${a^{3{x^2}-3}}＜1，{a^{3{x^2}-3}}＜{a^0}$…（1分）
因為0＜a＜1，所以3x²-3＞0，
解得x＜-1，或x＞1，…（3分）
即所求解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）…（4分）
（2）由不等式f（x）≥g（x）得${a^{3{x^2}-3}}≥{a^{-5x-5}}$…（6分）
（i）若0＜a＜1，則3x²-3≤-5x-5，
即3x²+5x+2≤0，解得：$-1≤x≤-\frac{2}{3}$…（8分）
（ii）若a＞1，則3x²-3≥-5x-5，
即3x²+5x+2≥0，解得：$x≤-1，或x≥-\frac{2}{3}$…（10分）
綜上，若0＜a＜1，所求解集為$[-1，-\frac{2}{3}]$；
若a＞1，所求解集為$（-∞，-1]∪[-\frac{2}{3}，+∞）$…（12分）

點評 本題考查了解 不等式問題，考查指數函數的性質以及分類討論思想，是一道基礎題．