Question

定義域為R的奇函數f（x），當x∈（-∞，0）時f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=2f（2），b=ln2•f（ln2），c=-f（-1），則a，b，c的大小關系為（　　）

• A、a＞b＞c
• B、c＞b＞a
• C、a＞c＞b
• D、b＞c＞a

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），由于當x∈（-∞，0）時，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，可得當x∈（-∞，0）時，函數g（x）單調遞減．由函數f（x）是定義域為R的奇函數，可得a=2f（2）=-2f（-2）=g（-2），b=-ln2•f（-ln2）=g（-ln2），c=-f（-1）=g（-1），即可得出．

解答： 解：令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵當x∈（-∞，0）時，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，
∴當x∈（-∞，0）時，函數g（x）單調遞減．
∵函數f（x）是定義域為R的奇函數，
∴a=2f（2）=-2f（-2）=g（-2），b=-ln2•f（-ln2）=g（-ln2），c=-f（-1）=g（-1），
又-2＜-1＜-ln2，
∴a＞c＞b．
故選：C．

點評：本題考查了構造函數利用導數研究函數的單調性，考查了函數的奇偶性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．