Question

已知不等式e^x-k-lnx-k＜0有解，則實數k的取值范圍（　　）

• A、k＞0
• B、0＜k＜1
• C、k＜0或k＞1
• D、k＞1

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,其他不等式的解法

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：根據函數y=e^x-k的反函數為y=lnx+k，將不等式轉化為lnx+k＞x有解，即可得到結論．

解答： 解：由e^x-k-lnx-k＜0得e^x-k＜lnx+k，
設y=e^x-k，則函數y=e^x-k的反函數為y=lnx+k，
若不等式e^x-k-lnx-k＜0有解，
則等價為y=lnx+k＞x．
即k＞x-lnx，
設f（x）=x-lnx，x＞0，
則函數的導數f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
由f′（x）＞0，解得x＞1，
由f′（x）＜0，解得0＜x＜1，
即當x=1時，函數f（x）取得極小值同時也是最小值f（1）=1，
則k＞1，
故選：D

點評：本題主要考查不等式的求解，根據互為反函數之間的關系，將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．