Question

已知集合A={x|x²-5x+4≤0}，集合B={x|x²-2ax+a+2≤0}．
（1）若B⊆A，求實數a的取值范圍；
（2）若A⊆B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：集合的包含關系判斷及應用

專題：集合

分析：（1）設f（x）=x²-2ax+a+2，它的圖象是一條開口向上的拋物線，B⊆A可知集合B為空集或解決是[1，4]的子區間，結合圖象建立不等關系，解之即可．
（2）若A⊆B，則

f(1)≤0 f(4)≤0

，解得實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）A={x|x²-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．
設f（x）=x²-2ax+a+2，它的圖象是一條開口向上的拋物線
①若B=ϕ，滿足條件，此時△＜0，即4a²-4（a+2）＜0，
解得-1＜a＜2；
②若B≠ϕ，設拋物線與x軸交點的橫坐標為x₁，x₂，
且x₁≤x₂，欲使B⊆A，應有{x|x₁≤x≤x₂}⊆{x|1≤x≤4}，
結合二次函數的圖象，得

f(1)≥0 f(4)≥0 1≤- -2a 2 ≤4 △≥0

即

3-a≥0 18-7a≥0 1≤a≤4 4a2-4a+8≥0

解得2≤a≤

18

7

．
綜上可知a的取值范圍是（-1，

18

7

]．
（2）若A⊆B，設f（x）=x²-2ax+a+2，它的圖象是一條開口向上的拋物線
則

f(1)≤0 f(4)≤0

，
即

3-a≤0 18-7a≤0

，
解得a≥3．
綜上可知a的取值范圍是[3，+∞）

點評：本題主要考查了集合的包含關系判斷及應用，以及二次函數的圖象，屬于中檔題．