Question

已知曲線C：x²+

y2

a

=1，直線l：kx-y-k=0，O為坐標原點．
（1）若該曲線的離心率為

3

2

，求該的曲線C的方程；
（2）當a=-1時，直線l過定點M且與曲線C相交于兩點M，N，試問在曲線C上是否存在點Q使得

OM

+

ON

=λ

OQ

？若存在，求實數λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）若焦點在x軸上，結合離心率，求出a，得到橢圓C的方程；若焦點在y軸上，利用離心率求出a得到橢圓的方程．
（2）通過直線l與曲線C都恒過定點（1，0），M（1，0），聯立直線與橢圓方程，求出交點坐標，假設存在滿足條件的Q，利用

OM

+

ON

=λ

OQ

，推出λ與k的關系式，然后求解λ的范圍即可．

解答： 解：（1）曲線C：x²+

y2

a

=1，該曲線的離心率為

3

2

，
若焦點在x軸上，則

1-a

1

=

3

2

，解得a=

1

4

．
橢圓C：x²+4y²=1；…（3分）
若焦點在y軸上，則

a-1

a

=

3

2

，解得a=2，
橢圓C：x2+

y2

2

=1；…（6分）
（2）由題：直線l與曲線C都恒過定點（1，0），M（1，0）；…（7分）

y=k(x-1) x2-y2=1

⇒(k2-1)x2-2k2x+k2+1=0，可得x=

k2+1

k2-1

，y=

2k

k2-1

，…（9分）
假設存在滿足條件的Q，

OM

+

ON

=λ

OQ

?

1+xN=λxQ yN=λyQ

，代入曲線C可得

1

λ2

(xQ2-yQ2)=1⇒λ²=(

2k2

k2-1

)2-(

2k

k2-1

)2=

4k2

k2-1

=4+

4

k2-1

＞4，…（13分）
所以：λ＜-2或λ＞2滿足條件．…（14分）

點評：本題考查橢圓的求法，直線與橢圓的綜合應用，存在性問題的處理方法，考查轉化思想以及計算能力．