Question

已知a＞0，且a≠1，f（log_ax）=

1

a2-1

(x-

1

x

)
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）試判定函數f（x）的奇偶性與單調性；
（Ⅲ）若對于函數f（x），當θ∈R時，f（a+cos2θ）+f（4sinθ-6）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,函數奇偶性的判斷,函數恒成立問題

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）利用換元法，令log_ax=t，則x=a^t；從而得到f（t）=

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a2-1

（a^t-a^-t）；從而寫出f（x）；
（Ⅱ）先求函數f（x）=

1

a2-1

（a^x-a^-x）的定義域，再由定義判斷奇偶性，由函數的四則運算判斷函數的單調性；
（Ⅲ）由以上知，f（a+cos2θ）+f（4sinθ-6）＜0可化為f（a+cos2θ）＜f（6-4sinθ）；即a+cos2θ＜6-4sinθ；故a＜6-4sinθ-cos2θ=2（sinθ-1）²+1；從而化恒成立問題為最值問題求解．

解答： 解：（Ⅰ）令log_ax=t，則x=a^t；
∴f（t）=

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a2-1

（a^t-a^-t）；
故f（x）=

1

a2-1

（a^x-a^-x）；
（Ⅱ）f（x）=

1

a2-1

（a^x-a^-x）的定義域為R，
f（-x）=

1

a2-1

（a^-x-a^x）=-

1

a2-1

（a^x-a^-x）=-f（x）；
故f（x）為奇函數，
當a＞1時，

1

a2-1

＞0，y=a^x是增函數，y=-a^-x是增函數；
故f（x）是增函數，
當0＜a＜1時，

1

a2-1

＜0，y=a^x是減函數，y=-a^-x是減函數；
故f（x）是增函數，
故無論a取何值，f（x）是增函數；
（Ⅲ）f（a+cos2θ）+f（4sinθ-6）＜0可化為
f（a+cos2θ）＜f（6-4sinθ）；
即a+cos2θ＜6-4sinθ；
故a＜6-4sinθ-cos2θ=2（sinθ-1）²+1；
∵sinθ∈[-1，1]，
∴2（sinθ-1）²+1≥1；
故實數a的取值范圍為（0，1）．

點評：本題考查了函數的性質的應用及恒成立問題，屬于基礎題．