Question

如圖，邊長為4的正方形ABCD與正三角形ADP所在的平面相互垂直，且M、N分別為PB、AD中點．
（1）求證：MN∥面PCD；
（2）求直線PC與平面PNB所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取PC的中點G，連結MG、DG，由已知得四邊形DNMG為平行四邊形，由此能證明MN∥面PDC．
（2）連接BN、NC、PN，過點C作CH⊥BN，垂足為H，連結PH由已知得∠CPH為直線PC與平面PNB所成的角，由此能求出直線PC與平面PNB所成角的正弦值．

解答： （1）證明：取PC的中點G，連結MG、DG，在△PBC中，
∵M、G分別為PB、PC的中點，∴MG∥BC，且MG=

1

2

BC，又ND=

1

2

AD，
∴MG

∥

.

DN，故四邊形DNMG為平行四邊形，
∴MN∥DG，又DG?平面PDC，M?N平面PDC，
∴MN∥面PDC．…（6分）
（2）解：連接BN、NC、PN，因為面ADP⊥面ABCD，且PN⊥AD，
所以PN⊥面ABCD，又PN?面PNB，所以面PNB⊥面ABCD．
過點C作CH⊥BN，垂足為H，連結PH，∴CH⊥面PNB，
故∠CPH為直線PC與平面PNB所成的角，…（8分）
在正方形ABCD中，由已知條件，令∠ABN=∠BCH=θ，
∴CH=BCcosθ=4×

2

5

=

8

5

，…（10分）
在Rt△PNC中，∵PN=2

3

，NC=2

5

，∴PC=4

2

，
在Rt△CHP中，sin∠CPH=

CH

PC

=

8

4 2 × 5

=

10

5

．…（12分）

點評：本題考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．