Question

已知M=

a2+asinθ+1

a2+acosθ+1

（a，θ∈R，a≠0），則M的最大值與最小值分別為（　　）

• A、

  1+ 7

  3

  ，

  1- 7

  3

• B、

  4+ 7

  3

  ，

  4- 7

  3

• C、

  9+4 2

  7

  ，

  9-4 2

  7

• D、

  8+4 2

  7

  ，

  8-4 2

  7

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質,不等式的解法及應用

分析：化簡M=

a2+asinθ+1

a2+acosθ+1

可化為aMcosθ-asinθ+（M-1）（a²+1）=0；從而可得直線aMx-ay+（M-1）（a²+1）=0與圓x²+y²=1有公共點，從而得到

|M-1|(a2+1)

|a| M2+1

≤1，化簡

|M-1|

M2+1

≤

|a|

a2+1

≤

1

2

；從而求解．

解答： 解：由題意，M=

a2+asinθ+1

a2+acosθ+1

可化為aMcosθ-asinθ+（M-1）（a²+1）=0；
所以直線aMx-ay+（M-1）（a²+1）=0與圓x²+y²=1有公共點，
故

|M-1|(a2+1)

|a| M2+1

≤1；
得到

|M-1|

M2+1

≤

|a|

a2+1

≤

1

2

；
（當且僅當|a|=1時，等號成立）；
故

|M-1|

M2+1

≤

1

2

；
即3M²-8M+3≤0；
故

4- 7

3

≤M≤

4+ 7

3

；
故最大值為

4+ 7

3

，最小值為

4- 7

3

；
故選B．

點評：本題考查了函數的幾何意義的應用及基本不等式的應用，屬于中檔題．