Question

15．某公司即將推車一款新型智能手機，為了更好地對產品進行宣傳，需預估市民購買該款手機是否與年齡有關，現隨機抽取了50名市民進行購買意愿的問卷調查，若得分低于60分，說明購買意愿弱；若得分不低于60分，說明購買意愿強，調查結果用莖葉圖表示如圖所示．

（1）根據莖葉圖中的數據完成2×2列聯表，并判斷是否有95%的把握認為市民是否購買該款手機與年齡有關？

	購買意愿強	購買意愿弱	合計
20-40歲
大于40歲
合計

（2）從購買意愿弱的市民中按年齡進行分層抽樣，共抽取5人，從這5人中隨機抽取2人進行采訪，求這2人都是年齡大于40歲的概率．
附：${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）根據題意，填寫2×2列聯表，計算觀測值，對照臨界值表得出結論；
（2）按分層抽樣方法，購買意愿弱的市民共有20人，抽樣比例為$\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$，利用列舉法得出基本事件數，求出對應的概率值．

解答 解：（1）由莖葉圖可得：

	購買意愿強	購買意愿弱	合計
20～40歲	20	8	28
大于40歲	10	12	22
合計	30	20	50

由列聯表可得：${K^2}=\frac{{50{{（20×12-10×8）}^2}}}{30×20×28×22}≈3.46＜3.841$．
所以，沒有95%的把握認為市民是否購買該款手機與年齡有關．     …（6分）
（2）購買意愿弱的市民共有20人，抽樣比例為$\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$，
所以年齡在20～40歲的抽取了2人，記為a，b，
年齡大于40歲的抽取了3人，記為A，B，C，
從這5人中隨機抽取2人，所有可能的情況為（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共10種，
其中2人都是年齡大于40歲的有3種情況，所以概率為$\frac{3}{10}$．     …（12分）

點評 本題考查了對立性檢驗與分層抽樣方法和列舉法求古典概型的概率問題，是綜合性題目．