Question

3．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x，x≥0\\-x{e^x}，x＜0\end{array}\right.$，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個不同的實數根，則實數t的取值范圍為$（-∞，-e-\frac{1}{e}）$．

Answer 1

分析 求函數的導數，判斷函數的取值情況，設m=f（x），利用換元法，將方程轉化為一元二次方程，利用根的分布建立條件關系即可得到結論．

解答 解：當x＜0時，f′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
當x＜-1時，f′（x）＞0，
當-1≤x＜0時，f′（x）≤0．
∴f（x）在（-∞，-1）上單調遞增，在（-1，0）單調遞減．
∴函數f（x）=-xe^x在（-∞，0）上有一個極大值為
f（-1）=$\frac{1}{e}$，作出函數f（x）的草圖如圖：
設m=f（x），當m＞$\frac{1}{e}$時，方程m=f（x）有1個解，
當m=$\frac{1}{e}$時，方程m=f（x）有2個解，
當0＜m＜$\frac{1}{e}$時，方程m=f（x）有3個解，
當m=0時，方程m=f（x），有1個解，
當m＜0時，方程m=f（x）有0個解，
則方程f²（x）+tf（x）+1=0等價為m²+tm+1=0，
要使關于x的方程f²（x）+tf（x）+1=0恰好有4個不相等的實數根，
等價為方程m²+tm+1=0有兩個不同的根m₁＞$\frac{1}{e}$且0＜m₂＜$\frac{1}{e}$，
設g（m）=m²+tm+1，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=1＞0}\\{g（\frac{1}{e}）=\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{t}{e}+1＜0}\end{array}\right.$，即t＜-e-$\frac{1}{e}$，
∴實數t的取值范圍為：$（-∞，-e-\frac{1}{e}）$．
故答案為：$（-∞，-e-\frac{1}{e}）$．

點評 本題考查了根的存在性及根的個數的判斷，考查了利用函數的導函數分析函數的單調性，考查了學生分析問題和解決問題的能力，利用換元法轉化為一元二次方程，是解決本題的關鍵，是中檔題．