Question

11．在直角坐標系xOy中，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{5}+2t}\end{array}\right.$（t為參數），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ²cos2θ+4=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知點A（0，$\sqrt{5}$），直線l與曲線C相交于點M、N，求$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出曲線C的直角坐標方程即可；（Ⅱ）將直線l的方程帶入曲線C的方程，求出$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵ρ²cos2θ+4=0．
∴ρ²cos²θ-ρ²sin²θ+4=0，
∴x²-y²+4=0，
∴y²-x²=4；
（Ⅱ）將直線l 的參數方程化為標準形式為：
$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{{\sqrt{5}}}t\\ y=\sqrt{5}+\frac{2}{{\sqrt{5}}}t.\end{array}\right.$ （t 為參數），
代入曲線C 的方程得$\frac{3}{5}{t^2}+4t+1=0$，
∴t₁+t₂=-$\frac{20}{3}$，t₁•t₂=$\frac{5}{3}$，
則$\frac{1}{|AM|}+\frac{1}{|AN|}=\frac{1}{{|{t_1}|}}+\frac{1}{{|{t_2}|}}=|\frac{{{t_1}+{t_2}}}{{{t_1}{t_2}}}|=4$．

點評 本題考查了極坐標和直角坐標系的轉化，考查參數方程以及一元二次方程根與系數的關系，是一道中檔題．