Question

已知函數f（x）=alnx（a＞0），e為自然對數的底數．
（Ⅰ）若過點A（2，f（2））的切線斜率為2，求實數a的值；
（Ⅱ）當x＞0時，求證：f（x）≥a（1-

1

x

）；
（Ⅲ）在區間（1，e）上

f(x)

x-1

＞1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數的導數，根據函數導數和切線斜率之間的關系即可求實數a的值；
（Ⅱ）構造函數，利用導數證明不等式即可；
（Ⅲ）利用參數分離法結合導數的應用即可得到結論．

解答： 解答：（I）函數的f（x）的導數f′（x）=

a

x

，
∵過點A（2，f（2））的切線斜率為2，
∴f′（2）=

a

2

=2，解得a=4．…（2分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-a（1-

1

x

）=a（lnx-1+

1

x

）；
則函數的導數g′（x）=a（

1

x

-

1

x2

）．…（4分）
令g′（x）＞0，即a（

1

x

-

1

x2

）＞0，解得x＞1，
∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
∴g（x）最小值為g（1）=0，
故f（x）≥a（1-

1

x

）成立．…（6分）
（Ⅲ）令h（x）=alnx+1-x，則h′（x）=

a

x

-1，
令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）
當a＞e時，h（x）在（1，e）是增函數，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分）
當1＜a≤e時，h（x）在（1，a）上遞增，（a，e）上遞減，
∴只需h（x）≥0，即a≥e-1．…（10分）
當a≤1時，h（x）在（1，e）上遞減，則需h（e）≥0，
∵h（e）=a+1-e＜0不合題意．…（11分）
綜上，a≥e-1…（12分）

點評：本題主要考查導數的綜合應用，要求熟練掌握導數的幾何意義，函數單調性最值和導數之間的關系，考查學生的綜合應用能力．