Question

已知cos²

x

2

-sin²

x

2

-2

3

sin

x

2

cos

x

2

-m=0，若方程在[0，π]上有兩個相異實根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：先化簡求函數解析式，問題等價于y=2cos（x+

π

3

），x∈[0，π]與直線y=m有兩個不同的交點，作出圖象可得結論．

解答： 解：cos²

x

2

-sin²

x

2

-2

3

sin

x

2

cos

x

2

-m=0，
⇒cosx-

3

sinx-m=0
⇒2cos（x+

π

3

）-m=0
∵x∈[0，π]
∴x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]
∵關于x的方程在區間[0，π]內有兩個相異實數根，
∴2cos（x+

π

3

）=m在區間[0，π]內有兩個相異實數根，
∴y=2cos（x+

π

3

），x∈[0，π]與直線y=m有兩個不同的交點，
作出圖象可得-2＜m≤-1，
故實數m的取值范圍為：（-2，1]．

點評：本題考查三角函數的化簡，數形結合是解決問題的關鍵，屬于基本知識的考查．