Question

已知函數f（x）=x-1-lnx，若不等式f（x）≥bx-2對任意x∈（0，+∞）恒成立，則實數b的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，1-

  1

  e2

  ]
• B、[1-

  1

  e2

  ，+∞）
• C、（0，1-

  1

  e2

  ]
• D、[1-

  1

  e2

  ，1）

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：把f（x）代入f（x）≥bx-2，分離參數b后構造函數g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，由導數求得其最小值，則b的取值范圍可求．

解答： 解：由已知f（x）≥bx-2，得x-1-lnx≥bx-2，
即b≤

x+1-lnx

x

=1+

1

x

-

lnx

x

令g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，
則g′（x）=-

1

x2

-

1-lnx

x2

=

lnx-2

x2

．
當x∈（0，e²]時，g′（x）＜0，當x∈[e²，+∞）時，g′（x）＞0，
g（x）在（0，e²]上遞減，在[e²，+∞）上遞增，
∴g（x）_min=g（e²）=1-

1

e2

，即b≤1-

1

e2

．
故選：A．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了分離變量法求參數的取值范圍，考查了利用導數求函數的最值，是中檔題．