Question

某學生在上學途中要經過4個路口，假設在各路口遇到紅燈的概率都是

1

4

，且是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈時停留的時間都是2min．
（1）求這名學生到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；
（2）求這名學生在上學途中因遇到紅燈停留的總時間X的數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式,n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率

專題：概率與統計

分析：（1）由已知得這名學生在首兩個路口都沒有遇到紅燈，由此能求出這名學生到第三個路口時首次遇到紅燈的概率．
（2）由題意知X的可能取值為0，2，4，6，8，分別求出相應的概率，由此能示出這名學生在上學途中因遇到紅燈停留的總時間X的數學期望．

解答： 解：（1）∵這名學生到第三個路口時首次遇到紅燈，
∴這名學生在首兩個路口都沒有遇到紅燈，
∴這名學生到第三個路口時首次遇到紅燈的概率：
p=（1-

1

4

）（1-

1

4

）•

1

4

=

9

64

．
（2）由題意知X的可能取值為0，2，4，6，8，
P（X=0）=

C

0 4

(1-

1

4

)4=

81

256

，
P（X=2）=

C

1 4

(

1

4

)(1-

1

4

)3=

108

256

，
P（X=4）=

C

2 4

(

1

4

)2(1-

1

4

)2=

54

256

，
P（X=6）=

C

3 4

(

1

4

)3(1-

1

4

)=

12

256

，
P（X=8）=

C

4 4

(

1

4

)4=

1

256

，
∴EX=0×

81

256

+2×

108

256

+4×

54

256

+6×

12

256

+8×

1

256

=2．
∴這名學生在上學途中因遇到紅燈停留的總時間X的數學期望是2min．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的數學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．