Question

設函數f（x）=2ka^x+（k-3）a^-x （a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數．
（1）求k值；
（2）若f（2）＜0，試判斷函數f（x）的單調性，并求使不等式f（x²-x）+f（tx+4）＜0恒成立的t的取值范圍；
（3）若f（2）=3，且g（x）=2^x+2^-x-2mf（x）在[2，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的最值及其幾何意義,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）運用f（0）=0求解．
（2）根據單調性得出不等式x²-x＞-tx-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
（3）化簡得出g（x）=2^x+2^-x-4m（2

x

2

-2-

x

2

）=（2

x

2

-2-

x

2

）²-4m（2

x

2

-2-

x

2

）+2．
換元轉化：令t=2

x

2

-2-

x

2

，h（t）=t²-4mt+2=（t-2m）²+2-4m² （t≥

3

2

）
分類討論求解即可．

解答： 解（1）因為f（x）是定義域為R的奇函數，所以f（0）=0，
所以2k+（k-3）=0，即k=1，檢驗知，符合條件
（2）f（x）=2（a^x-a ^-x） （a＞0且a≠1）
因為f（2）＜0，a2-

1

a2

＜0，又a＞0且a≠1，所以0＜a＜1
因為y=a^x單調遞減，y=a ^-x單調遞增，故f（x）在R上單調遞減．
不等式化為f（x²-x）＜f（-tx-4）
所以x²-x＞-tx-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
所以△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．
（3）因為f（2）=3，所以2（a2-

1

a2

）=3，即2a⁴-3a²-2=0，所以a=

2

，
所以g（x）=2^x+2^-x-4m（2

x

2

-2-

x

2

）=（2

x

2

-2-

x

2

）²-4m（2

x

2

-2-

x

2

）+2．
令t=2

x

2

-2-

x

2

，由（1）可知t=2

x

2

-2-

x

2

為增函數，因為x≥2，所以t≥

3

2

，
令h（t）=t²-4mt+2=（t-2m）²+2-4m²  （t≥

3

2

）
若m≥

3

4

，當t=2m時，h（t）_min=2-4m²=-2，∴m=1
若m＜

3

4

，當t=

3

2

時，h（t）_min=

17

4

-6m=-2，解得m=

25

24

＞

3

4

，舍去
綜上可知m=1．

點評：本題考查了函數的性質，運用求解數值，判斷單調性求解字母的范圍，屬于中檔題，綜合性較大．