Question

已知函數f（x）=

3

sin²x+sinxcosx．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（I）先化簡求得解析式f（x）=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，從而可求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）先求2x-

π

3

的范圍，可得sin（2x-

π

3

）的范圍，從而可求函數f（x）的值域．

解答： 解：（I）f（x）=

3

sin²x+sinxcosx=

3

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x    …（2分）
=sin（2x-

π

3

）+

3

2

．…（4分）
函數f（x）的最小正周期為T=π．…（6分）
因為-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ，k∈Z，
所以函數f（x）的單調遞增區間是[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]，k∈Z，．…（8分）
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，…（10分）
所以函數f（x）的值域為f（x）∈[0，1+

3

2

]．…（12分）

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的圖象與性質，屬于基本知識的考查．