Question

12．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+1，（{x≥0}）\\（a+3）{e^{ax}}，（{x＜0}）\end{array}\right.$為R上的單調函數，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． [-1，0）
• B． （0，+∞）
• C． [-2，0）
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 分類討論：當函數在R上單調遞增時，根據表達式中的二次函數部分可得a為正數，再根據表達式中的指數函數部分，可得a+3是正數，最后結合在x=0時指數表達式對應的值小于或等于二次函數對應的值，可得到實數a的取值范圍；當函數在R上單調遞減時，可用類似于單調增的方法，討論得a的取值范圍．最后綜合可得實數a的取值范圍．

解答 解：①若f（x）在R上單調遞增，
則有 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a+3＞0}\\{a+3≤1}\end{array}\right.$，解得a∈∅；
②若f（x）在R上單調遞減，
則有$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a+3＞0}\\{a+3≥1}\end{array}\right.$，解得-2≤a＜0，
綜上所述，得實數a的取值范圍是[-2，0），
故選：C．

點評 本題以二次函數和指數類型的函數為載體，考查了函數的單調性、基本初等函數等知識點，屬于中檔題．