Question

4．在直角坐標系xOy中，直線l過點$P（2，\sqrt{3}）$，傾斜角為$\frac{3π}{4}$，在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為$ρ=2\sqrt{3}sinθ$．
（1）求l的參數方程和圓C的直角坐標方程；
（2）設直線l與圓C交于點A，B，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉化方法，即可求l的參數方程和圓C的直角坐標方程；
（2）利用參數的幾何意義，即可求|PA|+|PB|．

解答 解：（1）根據題意，直線l過點$P（2，\sqrt{3}）$，傾斜角為$\frac{3π}{4}$，
得l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.\;\;（t為參數）$，…（3分）
圓C的方程為$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，圓C的直角坐標方程為：${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}y=0$．…（5分）
（Ⅱ）將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程得：${（{2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}+{（{\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}-2\sqrt{3}（{\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）=0$，
即：${t^2}-2\sqrt{2}t+1=0$．…（7分）
設t₁，t₂為此方程的兩根，
則${t_1}+{t_2}=2\sqrt{2}$，t₁t₂=1，∴t₁，t₂＞0，
∴$|PA|+|PB|={t_1}+{t_2}=2\sqrt{2}$．…（10分）

點評 本題考查三種方程的轉化，考查參數幾何意義的運用，屬于中檔題．