Question

在△ABC中，內角A、B、C所對的邊為a、b、c，且cosC=

3

5

，5（a²+b²）-6ab=20．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）當△ABC的面積最大時，求sinA．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：計算題,三角函數的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）由余弦定理知cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

5

，結合已知5（a²+b²）-6ab=20，即可解得c的值；
（Ⅱ）由5a²+5b²≥10ab，可知5a²+5b²-6ab-20=0≥4ab-20，可得S_△ABC=

1

2

absinC面積最大時，ab=5當且僅當a=b，從而可得a的值，由正弦定理即可求sinA的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

5

，
∴5a²+5b²-5c²=6ab，
∵5（a²+b²）-6ab=20．
∴5c²+6ab=20+6ab，
∴可解得c=2，
（Ⅱ）由（I）可得5a²+5b²-6ab-20=0．
∵5a²+5b²≥10ab，
∴5a²+5b²-6ab-20=0≥4ab-20，
∴ab≤5，
∴S_△ABC=

1

2

absinC面積最大時，ab=5當且僅當a=b，
∴a=

5

，
∵c=2，且cosC=

3

5

，可得sinC=

1-cos2C

=

4

5

，
∴由正弦定理可得：

a

sinA

=

2

4 5

，
∴sinA=

2 5

5

．

點評：本題主要考查了余弦定理的應用，不等式的解法，三角形面積公式的應用，綜合性較強，屬于中檔題．